Vaincre Kermès le Perse

Tout le monde a déjà vu « Les 12 travaux d'Astérix » (ceux qui ne sont pas dans ce cas peuvent d'ores et déjà se considérer comme des cuistres à mes yeux), et tout le monde se souvient de l'épreuve de lancer de javelot, où Obélix ruine aisément Kermès. Oui, mais techniquement, comment a-t-il fait ?

Mettre en orbite un objet autour d'un autre n'est pas chose aisée. Lancé trop lentement, l'objet tombera au sol. Lancé trop vite, l'objet s'éloignera du sol jusqu'à échapper complètement à l'attraction terrestre. Il faut donc trouver la bonne vitesse de lancement.

Étudions un exemple bien connu et documenté, un satellite célèbre depuis moult milliers de décades : la Lune. En utilisant la formule de mon précédent billet concernant la force gravitationnelle, on trouve que la force d'attraction qu'exercent la Lune et la Terre l'une sur l'autre est de

G est la constante gravitationnelle (en m³.kg^-1.s^-2), m_x est la masse du corps x (en kg), r est la distance Terre-Lune (en m).

Un satellite est un objet qui avance tout droit, mais dont la trajectoire est déviée par une force extérieure (qu'on appelle la force centripète). Si une bille aimantée roule bien droit sur un table, et qu'on place un aimant de charge opposée non loin de sa trajectoire, alors celle-ci est déviée. Pour peu que les conditions soient idéales, la bille peut entrer en « orbite » autour de l'aimant.

C'est la même chose pour la Lune. S'il n'y avait pas la Terre pour la retenir, elle prendrait une trajectoire bien rectiligne. Seulement voilà, la Lune tombe. Elle tombe à cause de la force gravitationnelle, qui ici fait office de force centripète. On peut calculer la force centripète exercée sur un corps en fonction de sa masse, de sa vitesse et de sa distance. Pour la Lune, cette force s'élève donc à (toujours en newton)

La Lune tourne autour de la Terre en 28 jours, ce qui permet de calculer sa vitesse de croisière à 1033 m.s^-1

On constate avec soulagement que les deux forces sont égales (aux minimes erreurs d'approximation près).

Cette démonstration afin de montrer que la mise en orbite circulaire (ne parlons pas des comètes) d'un objet dépend de l'égalité des deux forces. Maintenant, listons les variables 

• Le bras d'Obélix étant à 2 m du sol (c'est un grand gaillard) ;
• le poids d'un javelot : 800 g (officiellement) ;
• le centre de la Terre se trouve en moyenne à environ 6 350 km de sa surface ;
• le javelot, pour faire le tour de la Terre, doit parcourir 40 000 km (on va supposer que nous nous trouvons sur l'Équateur).

À partir du fait que pour un objet en orbite, sa force gravitationnelle (F_g) égale sa force centripète (F_c), on a

Pour mettre un javelot en orbite, il faut donc le lancer à la vitesse de 7 968,78 m/s, soit environ 28 700 km/h, soit plus loin que l'horizon en une seconde. 

Une formule relativement connue est celle de l'énergie cinétique, c'est-à-dire l'énergie que possède un objet de masse m parcourant l'espace à une vitesse v.

Puisque le javelot est au repos avant le lancer, alors Obélix lui fournit une énergie de (en joules)

Sachant qu'un méga-joule est l'énergie cinétique d'un véhicule d'une tonne à 160 km/h...

Maintenant, rajoutons la resistance de l'air (loin d'être négligeable). L'air exerce une force de résistance dont l'équation est 

ρ la masse volumique de l'air (en kg.m^-3), C_D le coefficient de trainée (de résistance) et A l'aire de référence (en m²), autrement dit la surface sur laquelle s'exerce la force (pour un javelot, il s'agit de sa coupe verticale à son plus grand diamètre).

Donc, pour un javelot dont le plus grand diamètre est de 30mm, dont le coefficient correspond à un objet bien fuselé, dans de l'air a 20°C, cette force de résistance égale à (en newtons)

Cette force s'oppose au mouvement du javelot durant tout son parcours. L'énergie étant la force fois la distance (je ne suis cependant pas certain de la formule qui suit), l'énergie nécessaire pour contrer la force de frottement de l'air durant le trajet autour de la Terre est égale à (en joules) 

On remarque donc qu' il faut mille fois plus d'énergie pour lutter contre la résistance de l'air que pour faire atteindre au javelot sa vitesse de croisière...

C'est certainement pour cette raison qu'Obélix mange tant de sangliers. 

D'ailleurs...

• Admettons qu'un sanglier peut offrir 50kg de viande pure ;
• la valeur calorique de la viande de sanglier est de 110kcal par 100g ;
• 1kcal = 4,2kJ.

En admettant qu'Obélix ait un système digestif performant, un sanglier peut lui fournir 230MJ. Cela veut dire que pour lancer le javelot, il a utilisé l'énergie produite par la digestion d'environ 188 sangliers.

Sources :

Wikipedia
http://monot.claude.free.fr/193.htm